两个相同的矩形信号做卷积 / Convolution of two identical rectangular signals
背景
晚上做信号与系统习题的时候,遇到了一个卷积计算的问题,发现在我对它的理解出现了一点奇妙的偏差,通过网络费了好些功夫才梳理通。理解以后,就想写一篇博文记录下这一问题,希望能给大家一点帮助,顺便防止我以后又忘记了。
问题
题目要求的计算过程中,有计算如下两个相同矩形脉冲信号的卷积:
图一,取自参考链接[1]
虽然我知道它的结果,是一个如下图所示的三角形脉冲信号——课上与书上都是这么说的:
图二,同样取自参考链接[1]
可是由于没有给过程,所以我想不到正确的计算方式是什么,也就无从改错。
思路
由上述可知,有两个相同的矩形脉冲信号可表示为:
而当信号相互卷积时,连续时间下,由卷积积分的公式:
两者相卷积时,在图解时可将相应沿$y$轴翻转,然后左移一定的距离直到两个信号不再重叠,再逐渐右移,重叠后逐点计算卷积值。(详细的计算过程默认读者已经了解,如不了解可参见奥本海姆的《信号与系统》第二章)
而在此处,由于两个信号相同,所以其卷积可写为$y(t) = x(t){\ast}x(t)$,任选其一作信号的响应$x_2(t)$,故其沿$y$轴反转后保持不变,在左移没有重复区域后再次右移的过程中,与信号$x_1(t)$最早相接触的地方应该是$t = -T_0$的时候,而正确的结果应该是$t = -2T_0$。
Obviously,肯定有地方出了问题。
纠错
回顾之前做的例题中,其响应一般都是从零点开始的,从来没有从$t \lt 0$的情况;且当两个矩形脉冲信号都是从$t = 0$开始时,我可以计算得到正确的输出,为一个从$t = 0$到$t = 4T_0$类似图二的三角形,所以肯定是因为我对响应处理不当而产生的错误。
为此,我翻书想看看有没有相似的例题,无果,随后上万能的Google试试能不能搜到相似情况的解析。中文搜索出来全都是CSDN或者博客园的雷同文章,一点帮助都没有……换了英文关键词后,找到了后面参考栏里的两个网页,看后我知道是哪里出错了:
首先由题意,作出方程:
由图解法可作出下图:
注意:响应$x_2(t)$与输入信号$x_1(t)$相乘积分的结果在$t = t$的时候,而不是$t = t + 1$处,这是关键的一步。之前我的错误就是将其积分之和误放在了$t = t + 1$的地方,导致输出信号开始于$t + 1$而不是$t$。
之后便一帆风顺了。究其错误原因:我之所以会那样计算,首先是先入为主,认为之前都是从响应重叠的地方开始,想必这次也应该是这样;其次是对概念的理解较为薄弱:$h(t - \tau)$代表了在$t = \tau$处一个时移后的脉冲信号$\delta(0)$的响应,因此$x_2(t-\tau)$也应该代表在$t = \tau$处一个时移后的脉冲信号$\delta(0)$的响应,其响应在$t$处,而非最右端$t+1$处。
图像得到了,至于解析式的结果,我也一并附在这里吧:
大概就是这样了,如果感觉理解起来有些困难的话,推荐大家看看第二个链接中的YouTube视频,情况不完全相同,不过Adam小哥讲得超棒的!
附录
这是我第一次在博文里嵌套公式,这里附上上文所出现公式的代码。这太难打了,要不是为了好看我就手写了……顺手附在这里,以后我有需要(忘记了)翻回来看也方便。
# 式1.1
\tag{1.1}
f(x) = \begin{cases}
A, &\text{if } ~ {-T_0 \lt t \lt T_0} \\
0, &\text{if } ~ {|t| ~ \gt T_0}
\end{cases}
~ = ~ g(t)
# 式1.2
\tag{1.2}
y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}{x(\tau)}{h(t-\tau)}{\rm d}{\tau} ~ = ~ x(t){\ast}h(t)
# 式2.1
\tag{2.1}
y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}{x_1(\tau)}{x_2(t-\tau)}{\rm d}{\tau}
# 式2.2
\begin{split}
x_1(t)*x_2(t) &= {\int_{-\infty}^{+\infty}{x_1(\tau)}{x_2(t-\tau)}{\rm d}{\tau}} \\
&=\begin{cases}
{\int_{-T_0}^{t+T_0}1{\cdot}1{\rm d}{\tau}}, &\text{if } ~ {-2T_0 \lt t \lt 0} \\
{\int_{t-T_0}^{T_0}1{\cdot}1{\rm d}{\tau}}, &\text{if } ~ {0 \lt t \lt 2T_0}
\end{cases} \\
&=\begin{cases}
{t+2T_0}, &\text{if } ~ {-2T_0 \lt t \lt 0} \\
{2T_0-t}, &\text{if } ~ {0 \lt t \lt 2T_0} \\
{0}, , &\text{if } ~ {|t| \gt 2T_0}
\end{cases}
\end{split}\tag{2.2}
参考
[1] Example 2.2.2: Convolution of two rectangular pulses
[2] Convolution Integral Example 03 - Convolution of Two Triangles
[3] Supported Functions - KaTeX
[4] 额外依赖库的支持 - 数学公式